Der maximale Definitionsbereich wird gesucht, also der Bereich, in welchem die Funktion berechnet werden kann.
Folgende Definitionsbereiche sind möglich:
Der Definitionsbereich lässt sich folgendermaßen einschränken:
Beispiel:
Da 0 nicht im Nenner stehen darf, gilt:
Bei linearen Funktionen wird die Funktion gleich 0 gesetzt und dann zu x umgestellt. Bei Quadratischen Funktionen nutzt man die Mitternachtsformel (siehe AB). Insgesamt gilt, dass der Term gleich null ist, wenn einer der Faktoren oder der Zähler null ist.
Es gilt:
Es gilt:
Für x wird 0 eingesetzt, mögliche Schnittpunkte werden berechnet.
Da die Definitionsmenge des natürlichen Logarithmus
Wie verhält sich die Funktion bei unendlich hohen bzw. niedrigen x-Werten?
Es gilt:
der höchste Exponent entscheidet, bei geraden Exponenten ist das Ergebnis positiv, bei ungeraden Exponenten wird der Vorfaktor (also +/-) nicht verändert.
An Extrempunkten entspricht der Wert der ersten Ableitung null. Wir leiten ab, finden die Nullstellen der ersten Ableitung und gehen dann so vor:
Bei einem Hochpunkt ist der Wert der zweiten Ableitung an der Nullstelle der ersten Ableitung größer als null, bei Tiefpunkten ist dieser kleiner als null.
Es kann auch die Steigung kurz vor und nach dem Extrempunkt betrachtet werden:
Bei Sattelpunkten gilt:
Es kann auch die Steigung kurz vor und nach der Nullstelle der 1. Ableitung betrachtet werden, gibt es keinen Vorzeichenwechsel handelt es sich um einen Sattelpunkt.
Man sucht die Nullstellen der zweiten Ableitung und setzt diese in die dritte Ableitung ein. Ist der Wert ungleich null, gibt es hier einen Wendepunkt, also ein Maximum ein dem Graphen der ersten Ableitung.
Ein Wendepunkt ist sozusagen ein ,,Schlenker” im Graphen, also ein Richtungswechsel.
Zuerst werden die Extremstellen berechnet.
Hochpunkt → Tiefpunkt = streng monoton fallend
Tiefpunkt → Hochpunkt = streng monoton steigend
Bei den äußeren Extremstellen gilt:
Tiefpunkt = streng monoton fallend bis zum Tiefpunkt, danach steigend
Hochpunkt = streng monoton steigend bis zum Hochpunkt, danach fallend
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