Alle Punkte im zweidimensionalen Raum, deren Vektoren zum Mittelpunkt die Länge des Radius haben, liegen auf dem Kreis. Umgeschrieben ergibt sich:
Im dreidimensionalen Raum legt die Form
Für die Lage eines in die Gleichung eingesetzten Punktes zur Kugel ergeben sich drei Möglichkeiten:
Falls die Gleichung für die Kugel nicht in der hier aufgeführten Form vorliegt, so kann durch quadratische Ergänzung zu dieser gelangt werden.
Für die Lagebeziehungen werden meist die Abstände und Radien der Objekte betrachtet.
Hier gibt es drei Fälle:
Hierzu wird der kürzeste Abstand d vom Mittelpunkt der Kugel zu der Ebene berechnet und mit dem Radius verglichen. Für die Fälle gilt:
1. Der Punkt auf der Ebene mit dem kürzesten Abstand zum Mittelpunkt des Kreises ist der Mittelpunkt des Schnittkreises. Zum Bestimmen kann der Normalenvektor der Ebene als Einheitsvektor mit dem Abstand (herausgefunden durch die Hessesche Normalenform der Ebene) multipliziert auf den Mittelpunkt addiert werden. Der Radius des Schnittkreises wird über den Satz des Pythagoras bestimmt.
Quelle: unsicher (evtl. aus dem Internet, allerdings nicht erneut über die Bildersuche etc. gefunden)
Aus der Skizze ergibt sich:
2.
3.
Die Parametergleichung der Geraden wird in die Kugelgleichung eingesetzt.
Keine Lösung → kein gemeinsamer Punkt
Eine Lösung → Gerade berührt Kugel
Zwei Lösungen → Gerade schneidet Kugel
Ist ein Punkt auf der Kugel gegeben, so lässt sich mit Hilfe dieses eine Tangentialebene zur Kugel bilden. Der Vektor vom Mittelpunkt der Kugel zum gegebenen Punkt stellt hierbei den Normalenvektor und der gegebene Punkt den Stützvektor dar.
Die Berührpunkte aller Tangenten von einem Punkt außerhalb der Kugel an die Kugel bilden einen Kreis beziehungsweise eine Polarebene. Es gilt:
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